Дед Дэвида Исидор Шохет происходил из г. Кретинги (Российская империя, ныне Литва). В конце 19-го века его семья бежала из России в немецкий Мемель (ныне Клайпеда) и сменила фамилию на Сухедович, затем перебралась в Кейптаун, Южная Африка, - и сменила фамилию на Суше. Отец артиста, еврей и по отцу и по матери, приехал в Британию в 1932 г. Прадед Суше по линии матери, фотограф Арнольд Ярхи, родился в еврейской семье в Динабурге (ныне Даугавпилс, Латвия), а прабабушка Амелия Саломон - в Гродно (Российская империя, ныне Беларусь). В Лондон они перебралась из Парижа в конце 19-го века.

Дэвид Суше в 1971 г. окончил Лондонскую академию музыкального и драматического искусства. С 1973г. играет в театре, на его счету более 40 ролей и целый ряд престижных театральных премий. Суше снимается в кино с 1970 г., но первую роль, принесшую ему известность, он сыграл в 1980-м в телефильме "История двух городов". В том же году он сыграл создателя водородной бомбы Эдварда Теллера в телесериале "Оппенгеймер", позже - Берию в фильме "Красный монарх" (1983), Фрейда в одноименном сериале ВВС (1983), Уильяма Ширера в фильме "Стресс" (1986), Леопольда Блума в частичной экранизации "Улисса" Джойса ("Современный мир: Десять великих писателей", 1988).

Всемирную известность Суше приобрёл исполнением главной роли в телесериале "Пуаро" (1989-2013) - экранизации всех произведений Агаты Кристи. Среди заметных ролей, сыгранных Суше, - Аарон в телефильме "Моисей" (1996), Мохамед Караман в "Идеальном убийстве" Майкла Дугласа (1998), Наполеон в фильме "Саботаж!" (2000), кардинал Уолси в историческом фильме "Генрих VIII" (2003), охотник за вампирами Ван Хельсинг в телефильме "Дракула" (2006), медиамагнат Роберт Максвелл в одноименном телефильме (2007), Джаггерс в телеэкранизации романа Диккенса "Большие надежды" (2011).

Дэвид Суше, выросший в нерелигиозной семье, в 1986 г. крестился. С 2012 г. он является вице-президентом Британского библейского общества. Суше был награждён премией Эмми в номинации "Лучший актёр" за роль в фильме "Максвелл". Он трижды (в 1989, 1990, 1991 гг.) номинировался на премию BAFTA за роль Пуаро, но так ни разу и не получил её. Он также номинировался на BAFTA в 1985г. (за "Стресс") и 1998 г. (за фильм "Другой мир"). В 2002 г. Суше стал Офицером Ордена Британской империи, в 2011-м был повышен в ранге до Командора. В 2008 г. получил почётную степень Чичестерского университета "за вклад в искусство".

Имя Дэвид - английская форма библейского имени Давид.