Келлер родился в Вене в богатой и культурной еврейской семье. В 1938 г. аншлюс Австрии вынудил Келлера бежать в Лондон, где у него были родственники, и в последующие годы он стал влиятельной фигурой в музыкальной жизни Великобритании. Первоначально он активно выступал как скрипач и альтист, но вскоре нашёл свою нишу как очень плодовитый музыковед, а также преподаватель, лектор и радиоведущий.

Келлер страстно поддерживал композиторов, чьи работы он считал недооцененными или недопонятыми, что сделало его неутомимым сторонником Бенджамина Бриттена и Арнольда Шёнберга, а также проницательным аналитиком таких композиторов, как Моцарт, Гайдн, Бетховен и Мендельсон. Многие из ранних статей Келлера были опубликованы в журналах Music Review и Music Survey, последний из которых он редактировал совместно с основателем  Дональдом Митчеллом (1949–52).

В последующие годы большую часть своей деятельности Келлер осуществлял на BBC, где занимал несколько руководящих должностей и регулярно публиковался в журнале The Listener. Когда Уильям Глок был назначен ответственным за музыку на BBC в 1959 году, одним из его первых действий стало привлечение Келлера в качестве продюсера музыкальных бесед. Именно на BBC Келлер в 1961 г. осуществил мистификацию, транслируя бессмысленную серию случайных шумов под видом авангардного произведения вымышленного польского композитора. В 1967 г. Келлер провёл знаменитую встречу с рок-группой "Пинк Флойд" на телешоу "Образ недели" , где он брал интервью у участников группы Сида Барретта и Роджера Уотерса. Келлер закончил свой сегмент интервью с группой словами: "Мой вердикт: это небольшое впадение в детство. Но, в конце концов, почему бы и нет?"

Способность Келлера к систематическому мышлению, в сочетании с его философскими и психоаналитическими знаниями, нашла своё воплощение в методе "бессловесного функционального анализа", призванном предоставить неопровержимо слышимые доказательства "всеобъемлющего единства фона" произведения. Его теория рассматривала музыкальную структуру с точки зрения ожиданий слушателя. Одним из элементов этой теории был "принцип обратных и отложенных антецедентов и консеквентов", который не получил широкого распространения. Однако его термин « гомотональность » оказался полезным для музыковедов в различных областях.

Келлер был женат на художнице Милен Косман, чьи рисунки иллюстрировали некоторые его работы. Его рукописи (радиопередачи и музыковедческие труды) хранятся в библиотеке Кембриджского университета. Будучи видным деятелем в мире современной музыки, Келлер поддерживал тесные личные и профессиональные связи со многими композиторами и часто посвящал им новые композиции. Среди тех, кто посвятил ему свои произведения, были Джудит Бингем, Бенджамин Бриттен, Бенджамин Франкель, Йозеф Таль и др. В 1979 г. Келлер получил Специальную премию Гильдии композиторов Великобритании . За несколько недель до своей смерти от болезни двигательных нейронов он получил от президента Австрии Почётный крест за вклад в науку и искусство 1-й степени.

Имя Ганс происходит от имени Иоанн (Johannes) и является распространённым в немецком, датском, голландском и норвежском языках. Имя Генрих состоит из германских элементов heim - "дом" и ric - "власть". Фамилия Келлер означает "винный погреб" по-немецки.