Мать Аниша была привезена в Индию из Багдада в младенческом возрасте, её отец был кантором в синагоге города Пуна, штат Махараштра. Аниш Капур с 1972 г. живёт в Лондоне. Он изучал искусство в Колледже искусств Хорнси  (Университет Мидлсекс) и в Школе искусств и дизайна Челси.

Капур стал известен в начале 1980-х как один из членов группы "Новая британская скульптура". В 1990 г. Капур представлял Великобританию на Венецианской биеннале, где ему была присуждена Premio Duemila; в следующем году он стал лауреатом Премии Тернера. Произведениям скульптора, как правило, присущи изогнутые линии и яркая окраска. Порой его работы имеют зеркальную поверхность, отражающую и искажающую окружающее пространство.

С конца 1990-х годов Капур создал ряд масштабных работ, включая "Таратантару" (1999), 35-метровое произведение, установленное в Гейтсэде, Англия и "Марсий" (2002), скульптуру из стали и поливинила, установленную в Турбинном зале Галереи Тейт-Модерн. В 2000 г. работа Капура "Параболические воды" была показана в Лондоне. В 2001-м "Зеркало неба", большое зеркальное произведение, которое отражало небо и окружающее пространство, было установлено в Ноттингеме. В 2004-м "Врата облаков", 110-тонная стальная скульптура, была торжественно открыта в парке "Миллениум" в Чикаго, Иллинойс. В 2006 г. другая зеркальная скульптура, также названная "Зеркало неба", была показана в Рокфеллеровском центре в Нью-Йорке.

Персональные выставки работ скульптора проходили в Галерее Тейт и Галерее Хэйуорд в Лондоне, в Зале искусств Базеля, Швейцария, Музее им. королевы Софии в Мадриде, Национальной галерее в Оттаве, Канада, Музее современного искусства Бельгии, Музее современного искусства в Бордо, Франция, и Культурном центре Банка Бразилии в Рио-де-Жанейро. Его работы представлены в музеях всего мира, в том числе в Музее современного искусства в Нью-Йорке, Тейт-Модерн в Лондоне, Fondazione Prada в Милане, De Pont Foundation в Голландии, 21st Century Museum of Contemporary Art в Японии и др.

В 2003 г. Аниш Капур был награждён Орденом Британской империи, в 2013-м ему было присвоено рыцарское звание. В 1999г. он был избран в британскую Королевскую Академию. Он также награждён орденами Франции и Индии и несколькими почётными степенями британских университетов. Свою экспозицию "Левиафан", открывшуюся в мае 2011 г. в парижском Гран-Пале, Капур посвятил китайскому художнику Ай Вэйвэю, арестованному властями Китая за правозащитную деятельность. В 2017 г. он стал лауреатом премии Дженизис, которую называют "еврейским Нобилем".

Имя Аниш означает "верховный, высший" на санскрите. Фамилия Капур происходит от слова karpura, которое означает "камфора" на санскрите.

Вне Лондона (Public art)

- Скульптура "Cloud Gate" (2004), Милленниум-Парк, Чикаго, Иллинойс, США.

- Скульптура "Sky Mirror" (2013) на стадионе AT&T, Даллас, Техас, США.

- Скульптура "The Tall Tree and Eye" возле Музея Гуггенхайма в Бильбао, Испания.