Гомбрих родился в богатой секулярной еврейской семье, его родители имели связи в культурных кругах Вены. Отец, юрист, был одноклассником писателя Гуго фон Гофмансталя, мать - ученицей Антона Брукнера по классу фортепиано. Эрнст с детства увлекался музыкой, а также проявлял живой интерес к искусству. Окончив частную школу "Терезианская академия", он поступил в Венский университет, где начал изучать историю искусств. В 1933 году он защитил диссертацию по теме "Джулио Романо как архитектор", получив степень доктора наук.

Некоторое время Эрнст Гомбрих работал в Музее истории искусств, где помогал куратору отдела скульптуры и художественных ремесел. В 1936 г. он переехал в Великобританию, где поступил на работу в Библиотеку Аби Варбурга (с 1944 года - Институт Варбурга при Лондонском университете). Во время Второй мировой войны он регулярно выступал на радио, проводя анализ информации, которую передавали немецкие радиостанции. В институте Варбурга Гомбрих проработал до 1976 года, причём с 1959 года был его директором.

Гомбрих дружил с Карлом Поппером и Фридрихом Хайеком, которые, как и Гомбрих, переехали в 1930-х годах из Австрии в Великобританию, опасаясь преследований нацистов. За годы деятельности он выпустил десятки публикаций, наиболее известные среди них - "Маленькая всемирная история",  "Символические образы. Очерки по искусству Возрождения" и "Тени в западном искусстве".

В 1960 году Гомбрих стал членом Британской академии, в 1972 -м был посвящён в рыцари. Среди его  наград - Орден за заслуги, Австрийский орден Почёта и др. До последних дней Эрнст Гомбрих преподавал в Лондонском университете. Его сын Ричард Гомбрих (р. 1937) - известный британский индолог и исследователь буддизма.

Имя Эрнст происходит от германского слова eornost - "серьёзный". Имя Ганс - уменьшительное от немецкого имени Иоганн, происходящего от библейского Йехоханан - "Яхве милостив". Имя Йозеф - немецкая форма библейского имени Йосиф. Происхождение фамилии Гомбрих не установлено.

Вне Лондона

В 2009 г. одна из улиц Вены была названа его оменем.