В 1930 г. Геймс покинул школу Хакни-Даунс и поступил в Школу искусств Св. Мартина в Лондоне, но ушёл после двух семестров. В 1932-36 гг. он работал "мальчиком в студии" в фирме коммерческого дизайна Askew-Young в Лондоне и посещал вечерние занятия по рисованию. В 1934 г. его работа заняла второе место в конкурсе Совета по здравоохранению, а в 1935 г. он выиграл конкурс плакатов Совета графства Лондон. В эти годы Геймс работал самостоятельно в качестве художника-плакатиста, статья о нём во влиятельном журнале Art and Industry (1937) привела к получению нескольких крупных заказов от General Post Office, London Transport, Royal Dutch Shell и др.

В начале Второй мировой войны Геймс был призван в британскую армию. Он служил до 1941 года, когда к нему обратился отдел по связям с общественностью военного министерства, который искал графического дизайнера. С 1942 г., работая официальным военным художником-плакатистом, Геймс создал около 100 плакатов, часто с элементами сюрреализма. Самым известным его проектом этого времени стал плакат для вербовки во Вспомогательную территориальную службу, который известен как "блондинка-бомба". Среди других известных плакатов - "Твоя болтовня может убить твоих товарищей" (1942), на котором спираль, символизирующая сплетни, исходит изо рта солдата и превращается в штык, атакующий трёх его товарищей.

Геймс был одним из первых в Великобритании, кто увидел свидетельства зверств нацистов - на фотографиях, сделанных в концлагере Берген-Бельзен, которые поступили в военное министерство в 1945 году. В том же году он выпустил плакат "Отдайте одежду освобождённым евреям" и часто поддерживал еврейские и израильские организации. Геймс провёл некоторое время в Израиле в 1950-х годах, где, помимо прочего,  создавал марки для израильского почтового ведомства и преподавал курс дизайна почтовых марок, участвовал в выставке "Покорение пустыни" (1953). Он также разработал обложки для "Еврейских хроник" и молитвенников для реформистских синагог Великобритании.

В 1946 г. Геймс возобновил свою внештатную практику и работал с такими клиентами, как Royal Dutch Shell, Financial Times, Guinness, British Airways и El Al. Он разработал почтовые марки для Великобритании, Ирландии, Португалии и др., логотип для Свободной еврейской школы в Северном Лондоне, обложки для книг Penguin Books, логотипы Британского фестиваля (1951) и Премии  королевы для промышленности (1965 ). Среди его новаторских вкладов был первый движущийся на экране символ телеканала BBC (1954). В 1960 г. Геймс создал плакат "Свобода от голода" для Продовольственной программы Организации Объединённых Наций.

Геймс выступал также в роли промышленного дизайнера. Деятельность в этой области включала в себя разработку вакуумной кофеварки Cona (1947) и таких изобретений, как круговой пылесос переносной ручной копировальный аппарат Gestetner и др. В 1946-53 гг. Геймс был приглашённым лектором по графическому дизайну в Лондонском Королевском колледже искусств. В 1958 г. он был награждён Орденом Британской империи, в 1959 г. был назначен Королевским промышленным дизайнером (RDI).
 

Имя Абрам - идишская форма библейского имени Авраам.