Фляйшманн родился в обеспеченной интеллигентной еврейской семье. Он окончил Евангелический лицей, изучал медицину в Будапеште. Когда началась Первая мировая война, Фляйшманна призвали в Венгерскую кавалерию, он служил военным врачом на Русском фронте. После войны он начал изучать скульптуру и продолжил своё медицинское образование.

В 1921 г. Фляйшманн окончил Карлов университет в Праге и начал работать дерматологом в одной из больниц Вены. Его первые скульптурные работы позволили ему получить стипендию для обучения в Венской академии искусств. В 1924 г. он оставил медицину и полностью посвятил себя искусству, особенно ему удавалась глазурованная керамическая скульптура. С 1928 г. он начал выставляться, появились первые заказы - от городских властей Вены, от нескольких церквей Германии, Австрии и Голландии.

На Международной выставке христианского искусства в Падуе в 1932 г. работа Фляйшманна получила серебряную медаль. В 1934-37 гг. он преподавал керамику в Женской академии искусств в Вене. Он стал одним из основателей Академии наук и искусств в Братиславе. В эти же годы скульптор работал арт-директором фабрики керамики "Нике" в Вене. В 1936 г. его работы выставлялись в 10 городах США.

В 1937 г. начались годы странствий Фляйшманна - он жил некоторое время в Южной Африке, на Занзибаре, а после аншлюса Австрии нацистами отправился на остров Бали, где он прожил два года и где перешёл из иудаизма в католицизм. Там он написал книгу "Бали глазами скульптора" и сделал более 1800 документальных фотографий. Большая часть его скульптурных работ, созданных на Бали, - это терракотовые фигурки местных танцовщиц.

В 1939 г. Фляйшманн улетел из Индонезии, подвергшейся нападению японцев, в Австралию, и в том же году получил австралийское гражданство и был принят в Художественное общество Сиднея. За годы жизни в Австралии он создал целую галерею скульптурных портретов, бронзовые двери Библиотеки штата Новый Южный Уэльс, бронзовую скульптуру "Сирано де Бержерак" и др.

Фляйшманн вернулся в Европу в 1948 г. Он собирался вернуться в Братиславу, но в Чехословакии произошёл коммунистический переворот, и он остался в Лондоне, который отныне стал его домом. В своей студии в Мэйфэр он создал ряд скульптурных портретов, один из них хранится в Национальной портретной галерее. Он стал пионером применения в скульптуре перспекса - органического стекла. Среди наиболее известных его работ, выполненных в этом материале, - "Приключения Юпитера" (1952) и "Рождение Афродиты (1955), ряд панно, предназначенных для океанских лайнеров, а также фонтан для британского павильона на Всемирной выставке Expo70 в Осаке. Этот фонтан выполнен в разработанном Фляйшманном жанре "водяной скульптуры", при котором резьба по оргстеклу дополняется сочащейся по её поверхности водой.

 Фляйшманн - единственный художник в истории, которому католическая церковь заказала скульптурные портреты четырёх Римских Пап - Пия XII, Иоанна XXIII, Павла VI и Иоанна Павла II. Первые три портрета, выполненные на панелях из перспекса, составляют "Tryptych of the Holy Rosary", хранящийся в Вестминстерском кафедральном соборе Лондона. Бронзовый портрет Иоанна Павла II выполнялся с натуры и был открыт в Английской Коллегии в Риме самим Папой в 1979 г. Последние персональные выставки Фляйшманна состоялись в 1980 г. в Лондоне (выставка называлась "Полувековой эксперимент") и в 1988 г. в Сиднее.

Артур - древнеанглийское имя неясного происхождения. Фамилия Фляйшманн происходит от немецких слов Fleisch - "мясо" и Mann - "человек".  

Вне Лондона

- После смерти Артура Фляйшманна его вдова Сесиль Джой Фляйшманн организовала музей с его работами в Братиславе, в доме, где он родился, по адресу Biela Ulice, 6.

- Мемориальная доска Фляйшманна была открыта в 2004 г. в Вене, Австрия, на отеле "Иоганн Штраус".