Родители Макса, секулярные евреи и члены Этического общества, иммигрировали в Англию из Германии. Макс получил образование в Сент-Джонс-колледже в Кембридже и в Медицинской школе Университетского колледжа в Лондоне. С 1938 г. он работал ассистентом-исследователем у д-ра Ф. Олбрайта в Медицинской школе Гарварда в США.

В 1941 г. Розенхайм вступил в Медицинский корпус Королевской армии, служил на Ближнем Востоке и в Италии, демобилизовался в чине бригадира (в британской армии - чин выше полковника, но не генеральский). По окончании Второй мировой войны он был медицинским консультантом союзных сухопутных войск в Юго-Восточной Азии.

С 1949 г. Розенхайм работал в больнице лондонского Университетского Колледжа, последние 20 лет, до своей отставки в 1970г., в должности профессора. Он был выдающимся клиницистом и учёным-медиком, в сферу его научных интересов входили болезни почек и повышенное кровяное давление. Он был одним из первых врачей, лечивших гипертонию.

В 1966 г. Макс Розенхайм был избран президентом Королевской коллегии врачей. В 1970г. за научные заслуги ему  был пожалован титул барона Розенхайма от Кэмдена. Он стал членом Королевского Общества (британского аналога Академии наук) за несколько месяцев до смерти.

Имя Макс - сокращение имени Максимилиан - "величайший" на латыни. Имя Леонард - германского происхождения, означает "храбрый лев". Фамилия Розенхайм составлена из немецких слов Rosen - "розы" и Heim - "дом".