Брюс вырос в Бродстерсе, Кент, учился в средней школе им. Диккенса. У его родителей был короткий роман во время Второй мировой войны, поэтому он постоянно подвергался жестокому обращению со стороны своего отчима  В юности Робинсон стремился стать актеёом, поступил в Центральную школу речи и драмы в Лондоне. Его первая роль в кино была Бенволио в экранизации Франко Дзеффирелли "Ромео и Джульетта" (1968). Затем он появился в фильмах "Любители музыки" Кена Рассела (1970), "Частная дорога" Барни Платтс-Миллса (1971) и "История Адель Х" Франсуа Трюффо (1975).

Позже он написал сценарий к фильму Ролана Жоффе "Поля смерти" (1984). За эту работу Робинсон был номинирован на премию Оскар и получил премию BAFTA. В 1989 году Робинсон написал сценарий для фильма Трюффо "Толстяк и маленький мальчик". Он ненадолго вернулся к актёрскому ремеслу в 1998 году, сыграв в фильме "Всё ещё сумасшедший".

В 1987 г. Робинсон поставил автобиографический фильм "Уитнэйл и я", в основе которого лежит время, когда он был безработным актером. Следующие две работы Робинсона в качестве режиссёра, "Как добиться успеха в рекламе" и "Дженнифер 8", не были так хорошо приняты, как предыдущая.

В 1998 г. был опубликован первый роман Робинсона - "Необычные воспоминания Томаса Пенмана", основанный на его детских воспоминаниях. В 2000 г. была опубликована книга "Курение в постели: беседы с Брюсом Робинсоном", Робинсон также написал две детские книги - "Очевидный слон" (2000) и "Хэролд и утка" (2005), Около 15 лет он собирал и исследовал материалы по тайне Джека-Потрошителя, которые впоследствии легли в основу его книги "They All Love Jack: Busting the Ripper" (2015).

Имя Брюс - шотландское имя норманского происхождения, от названия города Brix во Франции. Фамилия Робинсон - патроним от имени Робин - уменьшительного от Роберт; последнее происходит от германского имени Хродеберт, что означает "яркая слава".