Джулиус был младшим из семи детей в светской еврейской семье, его отец иммигрировал в Англию из Пруссии (по другим данным - из Польши). Окончив в 14 лет школу Св. Томаса в лондонском районе Излингтон, Джулиус начал работать младшим клерком в небольшой типографии Одэмс, созданной его отцом после переезда в Лондон и печатавшей в основном профсоюзные газеты. К концу 1890-х годов компания превратилась в прибыльный издательский бизнес, а Джулиус стал её управляющим менеджером, а затем председателем.

С 1906 г. Одэмс Пресс издавала популярный еженедельник "Джон Буль", а в 1920 г. купила его. В 1925 г. она приобрела газету "Санди Пипл", за несколько лет доведя её тираж до двух миллионов. В 1929 г. Илайас стал главным совладельцем "Дейли Геральд" - единственной общебританской ежедневной газеты, поддерживавшей лейбористов. Он был также президентом компании, издавашей иллюстрированную "Лондон Ньюз".

В 1937 г. Илайяс, к тому времену - один из самых богатых и влиятельных газетных магнатов Великобритании, получил титул барона Саутвуда и стал членом Палаты Лордов британского парламента. В 1944-45 гг. он даже возглавлял в ней лейбористскую фракцию. В 1946 г. его титул был повышен до виконта.

Илайяс был женат на англичанке Элис Коллард (детей у них не было) и был видным филантропом, в частности, был президентом Детской больницы на Грейт-Ормонд-стрит. При этом он старался не предпринимать ничего, что могло бы напомнить о его еврейском происхождении. Умер от сердечного приступа.

Имя Джулиус (русская форма - Юлий) восходит к имени римского императора Гая Юлия Цезаря (100-44 до н.э.), значение неясно. Фамилия Солтер происходит, вероятно, от английского salt - "соль". Фамилия Илайяс - от английской формы библейского имени Элияху (Илья), означающего "мой бог Яхве".