Майкл Коста учился музыке у своего отца и в Real Collegio di Musica в Неаполе, позже у оперного композитора Никколо Цингарелли. С 1830г. жил и работал в Великобритании, был дирижёром в His Majesty's Theatre, затем (до 1847 г.) в театре "Ковент-Гарден". Его манера работы с оркестром, основанная на дисциплине и точности, вызывала восхищение Мейербера и Верди. В 1846-54 гг. Коста был капельмейстером Филармонического общества, с 1848 г. дирижировал ораториями в Sacred Harmony Society, в 1849-82 гг. - на музыкальном фестивале в Бирмингеме, в 1874-80 - на фестивале в Лидсе. Он написал оперы "Темница Ильдегонды" (1828), "Мальвина" (1829), "Дон Карлос" (1837), балеты "Кенильворт" (1831), "Час в Неаполе" (1832), "Сэр Гюон" (1833) и "Альма" (1844), оратории "Илия" (1855) и "Нааман" (1864), кантаты и много других произведений. В 1869 году Майкл Коста получил британское подданство и рыцарское звание.
 

Имя Майкл - английская форма библейского имени Михаэль, означающего "кто как Бог". Имя Эндрю - английская форма евангельского имени Андрей, происходящего от древнегреческого слова андреос - "мужественный". Имя Агнус - греческого происхождения, со значением "чистый, святой". Фамилия Коста происходит от слова costa, имеющего значение "склон, берег" в романских языках.