Родители Клэр были детьми еврейских иммигрантов из местечка Быцень близ Барановичей (ныне Брестская область, Беларусь). Во время Второй мировой войны она провела несколько лет в США, сначала во Флориде, затем в Нью-Йорке. По возвращении в Англию Клэр окончила среднюю школу в Бристоле, изучала сценическое искусство в Школе музыки и драмы Гилдхолл, затем в Центральной школе речи и драмы в Лондоне.

Блум дебютировала в радиопрограммах BBC. В 1946 г. она впервые появилась на театральной сцене в Оксфордском репертуарном театре, затем успешно сыграла Офелию в "Гамлете", поставленном Полом Скофилдом в Шекспировском мемориальном театре. Спустя год она сыграла вместе с Ричардом Бёртоном и Джоном Гилгудом в пьесе Кристофера Фрая "Леди не для сожжения". За годы своей сценической карьеры Клэр сыграла во множестве знаменитых пьес, как в Лондоне, так и в Нью-Йорке.

Кинодебют Блум состоялся в 1948 г., но популярности у кинозрителей она добилась лишь в 1952-м, когда снялась в главной роли вместе с Чарли Чаплиным в фильме "Огни рампы". Эта роль принесла актрисе британскую кинопремию BAFTA в номинации "Самый многообещающий новичок". После этого она появилась ещё в нескольких знаменитых фильмах, среди которых "Ричард Третий" (1955), "Александр Великий" (1956), "Братья Карамазовы" (1958), "Флибустьер" (1958), "Чудесный мир братьев Гримм" (1962).

В 1960-х годах Блум стала чаще играть современные роли - в фильмах "Доклад Чэпмена" (1962), "Шпион, пришедший с холода" (1965), "Чарли" (1968), "Кукольный дом" (1973). В 1981 г. она вновь появилась в эпическом фильме - в "Битве титанов", где Лоуренс Оливье играл Зевса, а Блум - его жену Геру. Позже она снялась у Вуди Аллена в "Преступлениях и проступках" (1989) и "Великой Афродите" (1995).

Клэр Блум также снималась в Голливуде, где самые известные свои роли исполнила в фильме "Дневной свет" (1996) с Сильвестером Сталлоне и в исторической трагикомедии "Король говорит!" (2010), где она сыграла королеву Мэри. На телевидении Блум запомнилась своими ролями в фильмах "Царство теней" (1985), за который она удостоилась второй премии BAFTA, и "Анастасия: Загадка Анны" (1986), а также в сериалах "Как вращается мир" и "Доктор Кто".

Блум трижды была замужем: за артистом Родом Стайгером (1959-69), продюсером Хиллардом Элкинзом (1969-72) и писателем Филипом Ротом (1990-95). Её дочь Анна Стайгер (р. 1960) - оперная певица. Блум выпустила две книги мемуаров - в 1982-м и в 1996-м годах. В 2013 г. актриса получила титул командора Ордена Британской империи.

Имя Клер происходит от поздне-латинского имени Clarus, означающего "ясный, яркий". Фамилия Блум произошла от немецкого слова Blume - "цветок".